$\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{\cdots \sqrt{4^{n}x+3}}}}}-\sqrt{x}=1$. $\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{\cdots \sqrt{4^{n}x+3}}}}}=1+\sqrt{x}$. $x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{\cdots \sqrt{4^{n}x+3}}}}=1+2\sqrt{x}+x$. $\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{\cdots \sqrt{4^{n}x+3}}}}=1+2\sqrt{x}$. $4x+\sqrt{16x+\sqrt{\cdots \sqrt{4^{n}x+3}}}=1+4\sqrt{x}+4x$. $\sqrt{16x+\sqrt{\cdots \sqrt{4^{n}x+3}}}=1+4\sqrt{x}$. $\cdots$ $\sqrt{4^{n}x+3}=1+2^{n}\sqrt{x}$. $4^{n}x+3=1+2^{n+1}\sqrt{x}+4^{x}x$. $3=1+2^{n+1}\sqrt{x}$. $2^{n+1}\sqrt{x}=2$. $2^{n}\sqrt{x}=1$.